有限数学示例

$x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} + 10 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 10 u + 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $9$ ，和为 $10$ 。

$1, 9$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 9) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

$u + 9 = 0$

解题步骤 4

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 5

将 $u + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将 $u + 9$ 设为等于 $0$ 。

$u + 9 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $9$ 。

$u = - 9$

解题步骤 6

最终解为使 $(u + 1) (u + 9) = 0$ 成立的所有值。

$u = - 1, - 9$

解题步骤 7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = - 1$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

解题步骤 8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 9.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 9.2

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 9.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 9.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - 9$

解题步骤 11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 11.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 11.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 11.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 11.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 11.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 11.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 11.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 12

$x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$ 的解是 $x = i, - i, 3 i, - 3 i$ 。

$x = i, - i, 3 i, - 3 i$

解题步骤 13

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